导演：西蒙·辛格 

主演：Andrew Wiles Barry Mazur Kenneth Ribet 

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯来看，1994年正是我在念大学的时候，当时完全没有一位教授在课堂上提到这件事，也许他们认为，一位真正的研究者，自然而然地会被数学吸引，然而对一位不是天才的学生来说，他需要的是老师的指引，引导他走向更高深的专业认知，而指引的道路，就在科普的精神上。                                                                      　　从费玛最后定理的历史中可以发现，有许多研究成果，都是研究人员燃烧热情，试图提出「有趣」的命题，然后再尝试用逻辑验证。                                                                      　　费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解                                                                      　　1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事从这里开始。                                                                      　　2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜边的平方=另外两边的平方和                                                                      　　x2+y2=z2                                                                      　　毕达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数解                                                                      　　3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时，在页边写下了註记                                                                      　　「不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高於2次幂，写成两个同样次幂的和。」                                                                      　　「对这个命题我有一个十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。」                                                                      　　4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记的「丢番图的算数」                                                                      　　5. 在Fermat的其他註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解                                                                      　　莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解                                                                      　　3是质数，现在只要证明费玛最后定理对於所有的质数都成立                                                                      　　但 欧基里德 证明「存在无穷多个质数」                                                                      　　6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证明了 费玛最后定理 "大概" 无解                                                                      　　7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸热尔曼的证明，证明了 n=5 无解                                                                      　　8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解                                                                      　　9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛最后定理                                                                      　　最后是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的证明，都因为「虚数没有唯一因子分解性质」而失败                                                                      　　库默尔证明了 费玛最后定理的完整证明 是当时数学方法不可能实现的                                                                      　　10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明                                                                      　　这表示 费玛最后定理的完整证明 尚未被解决                                                                      　　沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证明的人，期限是到2007年9月13日止                                                                      　　11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提出数学上23个未解决的问题且相信这是迫切需要解决的重要问题                                                                      　　12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理                                                                      　　第一不可判定性定理：如果公理集合论是相容的，那么存在既不能证明又不能否定的定理。                                                                      　　=> 完全性是不可能达到的                                                                      　　第二不可判定性定理：不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。                                                                      　　=> 相容性永远不可能证明                                                                      　　13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题是不是不可判定的方法（只适用少数情形）                                                                      　　证明希尔伯特23个问题中，其中一个「连续统假设」问题是不可判定的，这对於费玛最后定理来说是一大打击                                                                      　　14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反转机                                                                      　　开始有人利用暴力解决方法，要对 费玛最后定理 的n值一个一个加以证明。                                                                      　　15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想，找到了一个反例                                                                      　　26824404+153656394+1879604=206156734                                                                      　　16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆曲线                                                                      　　研究椭圆曲线的目的是要算出他们的整数解，这跟费玛最后定理一样                                                                      　　ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2                                                                      　　(费玛证明宇宙中指存在一个数26，他是夹在一个平方数与一个立方数中间)                                                                      　　由於要直接找出椭圆曲线是很困难的，为了简化问题，数学家採用「时鐘运算」方法                                                                      　　在五格时鐘运算中， 4+2=1                                                                      　　椭圆方程式 x3-x2=y2+y                                                                      　　所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四个解                                                                      　　对於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, .....                                                                      　　17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型式                                                                      　　模型式的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...）                                                                      　　每个模型式的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例                                                                      　　1955年9月 提出模型式的 M序列 可以对应到椭圆曲线的 E序列，两个不同领域的理论突然被连接在一起                                                                      　　安德列‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村猜想」                                                                      　　18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画，一个统一化猜想的理论，并开始寻找统一的环链                                                                      　　19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出                                                                      　　(1) 假设费玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式                                                                      　　(2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以致於无法被模型式化                                                                      　　(3) 谷山-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都可以被模型式化                                                                      　　(4) 谷山-志村猜想 是错误的                                                                      　　反过来说                                                                      　　(1) 如果 谷山-志村猜想 是对的，每一个椭圆方程式都可以被模型式化                                                                      　　(2) 每一个椭圆方程式都可以被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式                                                                      　　(3) 如果不存在弗赖椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没有整数解                                                                      　　(4) 费玛最后定理是对的                                                                      　　20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭圆方程式无法被模型式化                                                                      　　如果有人能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛最后定理也是正确的                                                                      　　21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔6个月发表一篇小论文，然后自己独力尝试证明谷山-志村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论，希望能将E序列以「自然次序」一一对应到M序列                                                                      　　22.1988年 宫冈洋一 发表利用微分几何学证明谷山-志村猜想，但结果失败                                                                      　　23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成无限多项，然后也证明了第一项必定是模型式的第一项，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败                                                                      　　24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有分类后的椭圆方程式都奏效                                                                      　　25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对验证证明                                                                      　　26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明                                                                      　　27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷                                                                      　　安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居，尝试独力解决缺陷，他不希望在这时候公布证明，让其他人分享完成证明的甜美果实                                                                      　　28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的协助                                                                      　　29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完全解决问题                                                                      　　30.「谷山-志村猜想」被证明了，故得证「费玛最后定理」                                                                      　　ii                                                                      　　费马大定理                                                                      　　300多年以前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。                                                                      　　费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着名的定理—费马大定理。                                                                      　　费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何，同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费马特别爱好数论，提出了许多定理，但费马只对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未被证明外，其余的陆续被后来的数学家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理，因为是最后一个未被证明对或错的定理，所以又称为费马最后定理。                                                                      　　费马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已经有了很大进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理，但随后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理还没有得到数学界的一致公认，但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。毫无疑问，这使人们看到了希望。                                                                      　　为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家们前赴后继，却壮志未酬。1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用13                                                                      　　0页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。                                                                      　　费马大定理提出的问题非常简单，它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达                                                                      　　哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，                                                                      　　斜边的平方等于两直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在                                                                      　　研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n                                                                      　　大于2时，这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这                                                                      　　个结论的同时又写下一个附加的评注：“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空                                                                      　　白太小，写不下。”这就是数学史上着名的费马大定理或称费马最后的定理。费马制造了                                                                      　　一个数学史上最深奥的谜。                                                                      　　大问题                                                                      　　在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以叙述得如此简单和清晰，却长久不                                                                      　　解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到，                                                                      　　文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成为数论中最                                                                      　　值得为之奋斗的事。                                                                      　　安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国剑桥，父亲是一位工程学教授。少年时代的怀尔斯                                                                      　　已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，                                                                      　　编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。                                                                      　　”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只有一个问题而没有解答                                                                      　　,怀尔斯被吸引住了。                                                                      　　这就是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费马大定理的历史，这个定理让一个又                                                                      　　一个的数学家望而生畏，在长达300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回忆                                                                      　　起被引向费马大定理时的感觉：“它看上去如此简单，但历史上所有的大数学家都未能解                                                                      　　决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻起，我知道我永                                                                      　　远不会放弃它。我必须解决它。”                                                                      　　怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学学士学位，之后进入剑桥大学Clare                                                                      　　学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能                                                                      　　带来的问题是：你花费了多年的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coate                                                                      　　s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。” 科茨说：“我记得一位同事                                                                      　　告诉我，他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部考试的学生，他催促我收其                                                                      　　为学生。我非常荣幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看，他也有很深刻的                                                                      　　思想，非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然，任何研究生在那个阶段直接开始研                                                                      　　究费马大定理是不可能的，即使对资历很深的数学家来说，它也太困难了。”科茨的责任                                                                      　　是为怀尔斯找到某种至少能使他在今后三年里有兴趣去研究的问题。他说：“我认为研究                                                                      　　生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定                                                                      　　是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学家在这个过程中能做的一件事是使用他                                                                      　　的常识、他对好领域的直觉。然后，学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。                                                                      　　”                                                                      　　科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的                                                                      　　一个转折点，椭圆方程的研究是他实现梦想的工具。                                                                      　　孤独的战士                                                                      　　1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学                                                                      　　的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为一                                                                      　　个着名的数论学家，但他清楚地意识到，即使以他广博的基础知识和数学修养，证明费马                                                                      　　大定理的任务也是极为艰巨的。                                                                      　　在怀尔斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在两个非                                                                      　　常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋                                                                      　　友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山－志村猜想与费马大                                                                      　　定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为                                                                      　　这意味着为了证明费马大定理，我必须做的一切就是证明谷山－志村猜想……我十分清楚                                                                      　　我应该回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。                                                                      　　20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理，他                                                                      　　回答说：“在开始着手之前，我必须用3年的时间作深入的研究，而我没有那么多的时间                                                                      　　浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了找到证明，他必须全身心地投入到                                                                      　　这个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意冒这个风险。                                                                      　　怀尔斯作了一个重大的决定：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费                                                                      　　马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中                                                                      　　，除非你的专心不被他人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有                                                                      　　与证明费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能他就回到家里工作，在家里的顶                                                                      　　楼书房里他开始了通过谷山－志村猜想来证明费马大定理的战斗。                                                                      　　这是一场长达7年的持久战，这期间只有他的妻子知道他在证明费马大定理。                                                                      　　欢呼与等待                                                                      　　经过7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了                                                                      　　费马大定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会议要在剑桥大                                                                      　　学的牛顿研究所举行。怀尔斯决定利用这个机会向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择                                                                      　　在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡，他曾经是那里的一名研究生。                                                                      　　1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆                                                                      　　听了这一演讲，但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达                                                                      　　的意思。其余的人来这里是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安                                                                      　　德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起有关演讲的风                                                                      　　声，很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯                                                                      　　定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，当我写完                                                                      　　费马大定理的证明时，我说：‘我想我就在这里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声                                                                      　　。”                                                                      　　《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》为题报道                                                                      　　费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上最着名的数学家，也是唯一的数                                                                      　　学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有创                                                                      　　意的赞美来自一家国际制衣大公司，他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模                                                                      　　特。                                                                      　　当怀尔斯成为媒体报道的中心时，认真核对这个证明的工作也在进行。科学的程序要                                                                      　　求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊物，然后这个刊物的编辑将它送交一组审                                                                      　　稿人，审稿人的职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整整一个                                                                      　　夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求能得到他们的祝福。可是，证明的一个缺陷被发                                                                      　　现了。                                                                      　　我的心灵归于平静                                                                      　　由于怀尔斯的论文涉及到大量的数学方法，编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指定                                                                      　　2－3个审稿人，而是6个审稿人。200页的证明被分成6章，每位审稿人负责其中一章。                                                                      　　怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处理审稿人在电子邮件中提出的问题，他自信这                                                                      　　些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发现了                                                                      　　证明中的一个小缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每一步都                                                                      　　行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去了                                                                      　　，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境，他准备承认失败。他向同事彼得·萨克说明自己的情                                                                      　　况，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问题并且可信赖的人。经过                                                                      　　长时间的考虑后，怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作                                                                      　　。                                                                      　　泰勒1994年1月份到普林斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他们准备放弃了。泰勒                                                                      　　鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日，一个星期一的早                                                                      　　晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我有了一个                                                                      　　难以置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻，我不会再有这样的经历……它的美是如                                                                      　　此地难以形容；它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我                                                                      　　到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。”                                                                      　　这是少年时代的梦想和8年潜心努力的终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能。世                                                                      　　界不再怀疑这一次的证明了。这两篇论文总共有130页，是历史上核查得最彻底的数学稿